прямые линии заданы уравнениями:

1,19 Mb.страница3/7Дата конвертации26.11.2012Размер1,19 Mb.Тип ... Смотрите также:     3         ^ 2.8 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Для n-мерного линейного пространства введем понятие длины вектора и угла между векторами. Это можно сделать, если определить операцию произведения над векторами.^ В линейном пространстве L задано скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие число такое, что: 1о. 2о. k - скаляр; 3о. Линейное пространство L называется евклидовым пространствам, если в нем определено скалярное произведение и для любого вектора, его скалярный квадрат будет положительным. 4`. при то ±=0 Обозначают n-мерное евклидово пространство Еn. Таким образом, линейное пространство будет евклидовым, если введенное там (как угодно) скалярное произведение векторов будет удовлетворять четырем аксиомам 1`, 2`, 3`, 4`. Пусть векторы заданы своими координатами ±=(x1,x2, ,xn) и =(c1 , c2 , , cn). Легко проверить (проверьте!), что всем аксиомам будет удовлетворить скалярное произведение, определенное как сумма произведений соответствующих координат перемножаемых векторов или .Нормой (длиной) вектора ' называется число, равное или в координатной форме Угол между векторами определяется по формуле Покажем, что это определение корректно, то есть выполняется условие Пусть k - любое действительное число, . Согласно аксиоме 4`, имеем используя аксиомы 1`-3`, последнее неравенство можно записать в виде Это квадратное неравенство относительно k справедливо, если его дискриминант неположительный, то есть, или Итак, доказали, что для любых справедливо неравенство оно называется неравенствам Коши-Буняковского. Из неравенства Коши-Буняковского следует: или итак, действительно Как уже отмечалось, в n-мерном линейном пространстве базисом является любая система из n линейно независимых векторов. Часто выбирают базис из взаимно перпендикулярных (ортогональных) единичных векторов.^ Базис Г1, Г2, , Гn в пространстве Еn называется ортонормированным, если имеет место: В частности, в пространстве Е2 ортонормированным базисом является система двух векторов, их обозначают i, j: в пространстве E3 ортонормированный базис обозначают i, j, k: Пример 18. Дан треугольник АВС. где А(1, 2); В(0, 3); С(-2, -1). Найти периметр его и угол А.Решение Обозначим векторы . Используя скалярное произведение, найдем . Координаты вектора ± находим, вычитая из к

Учебно-методический комплекс дисциплины Красноярск 2004

2.8 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - Учебно-методический комплекс дисциплины Красноярск 2004